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三门问题

三门问题，亦称为蒙提霍尔问题，出自美国的电视游戏节目Let’s Make a Deal。问题的名字来自该节目的主持人蒙提·霍尔（Monty Hall）。游戏规则是：参赛者会看见三扇关闭了的门，其中一扇后面有一辆汽车，选中后面有车的那扇门就可以赢得该汽车，而另外两扇门后面则各藏有一只山羊。当参赛者选定了一扇门，但未去开启它的时候，节目主持人会开启剩下两扇门的其中一扇，露出其中一只山羊。主持人其后会问参赛者要不要换另一扇仍然关上的门。

关于换不换的问题，就是计算换了之后能不能增加获得汽车的概率。答案是可以， 不换的话获得汽车的概率是1∶3，但是换了之后的概率将提高到2∶3。关于理论上的证明有很多种方式，这里就不再一一介绍。下面直接看怎么用Python来模拟这个过程并得出结论，在这之前建议有点思路的读者先自己尝试一下看能不能写出来，这里给出一个参考程序。

首先是进行一次游戏，根据规则和做出的策略来看是否能赢。

# 计算在第二次采取不同策略时,是否在游戏中获胜（选中汽车）

def game(strategy):

win = 0

# 假定汽车在0号门（参赛者并不了解这一事实）

doors = [0, 1, 2]

# 因为事先并不知道任何信息,所以第一次随机选取一扇门

first_choice = rnd.choice(doors)

# 根据第一次的选择情况的不同，第二次决策面临两种不同的备选组合

# 如果第一次选择了0号门，那么在主持人打开另外两扇门中的其中一扇门后

# 第二次将在0号门和未打开的空门（1或 2）中作出选择

if first_choice == 0:

doors = [0, rnd.choice([1, 2])]

# 如果第一次没有选中0，那么此时被打开的必然是另一扇有山羊的门，那么

# 在第二次选择时，将在0和自己现在所处的门（first_choice）作出选择

else:

doors = [0, first_choice]

# 采取不同的策略进行第二次选择

# 保持原来位置不变

if strategy == 'stick':

second_choice = first_choice

# 排除一扇空门后，放弃原来的选择，直接选择另一扇门

else:

doors.remove(first_choice)

second_choice = doors[0]

# 记得，奖品在0号门

if second_choice == 0:

win = 1

return win

之后进行一定次数的模拟，并计算不同策略获胜的概率，如下所示。

# 对特定策略进行的一定次数的模拟

def MC(strategy, times):

wins = 0

for i in range(times):

wins += game(strategy)

# 计算获奖的概率值

p = wins / times

print('第二次选择采用' + strategy + '方法，

获奖的概率为：' + str(p) + '(模拟次数为' + str(times) + ')')

模拟10000次，如下所示。

if __name__ == '__main__':

MC('stick', 10000)

MC('switch', 10000)

运行输出如下。

第二次选择采用stick方法，获奖的概率为：0.3438(模拟次数为10000)

第二次选择采用switch方法，获奖的概率为：0.6658(模拟次数为10000)

可以清楚地看到转换的概率提升到了三分之二。该程序再次见证了蒙特卡罗方法的强大，我们不需要去理解问题本身深刻的机理，只需要将现象在一定的规则下进行尽量多的随机模拟，即可得到解决问题的办法。Python还可以利用现有的第三方库来解决较为复杂的优化问题，下面介绍LP、QP问题的解决。